Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线与直线在处相切.

①求的值；

②求证：当时，；

（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①②见解析（2）

【解析】

（1）①求出导函数，由可求得，再由可求得，从而得；②引入函数，利用导数求函数的最小值（需二次求导确定），确定最小值是，从而证得不等式成立；

（2）不等式分离参数得，原题等价于时，有解.求出的最小值即可得，为此先证明不等式，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最值得出结论．应用刚证的不等式可得结论．

解：（1）①因为，所以.

因为曲线与直线在处相切，

所以，所以.

所以，所以.

又切点在直线上，所以，

所以，所以

② 由①知，可设，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

由，所以，

所以存在，使得，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，

即，当且仅当时取等号，

所以当时，，

故当时，

(3）先证. 构造函数，则.

故当时，，在上递增，当时，，在上递减，

所以，即

又当，且时，等价于

故原题等价于时，有解.

因为（当时取等号），

所以.