Question

5．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F在PC上，且PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在一点M，使平面AEM∥平面BFD，并请说明理由．

Answer 1

分析 取PB中点M，PD中点N，由三角形中位线定理能得到平面MNE∥平面BDF，由AE∩平面MNE=E，得到AE与平面BDF相交，由此推导出在PB上一定不存在一点M，使平面AEM∥平面BFD．

解答 解：在PB上是不存在一点M，使平面AEM∥平面BFD．
理由如下：
取PB中点M，PD中点N，连结ME、NE、MN，
∵点E，F在PC上，且PE：EF：FC=1：1：1，
∴ME∥BF，NE∥DF，
∵ME∩NE=E，BF∩DF=F，
ME?平面MNE，NE?平面MNE，BF?平面BDF，DF?平面BDF，
∴平面MNE∥平面BDF，
∵AE∩平面MNE=E，∴AE与平面BDF相交，
∴在PB上一定不存在一点M，使平面AEM∥平面BFD．

点评 本题考查面面平行的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．