Question

如果f'（x）是二次函数，且 f'（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，-

3

），那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是

[0，

π

2

）∪[

2π

3

，π）

．

Answer 1

分析：根据题意可设f′(x)=a(x-1)2-

3

且a＞0可得f′(x)≥-

3

即tanα≥-

3

，由导数得几何意义可得，曲线上任意一点的斜率k=f′(x)≥ -

3

，结合0≤α＜π及正切函数的图象可求

解答：解：根据题意可得f′(x)=a(x-1)2-

3

且a＞0
∴f′(x)≥-

3

即tanα≥-

3

由导数得几何意义可得，曲线上任意一点的斜率k=f′(x)≥ -

3

∴tanα≥-

3

∵0≤α＜π
∴0≤α＜

π

2

或

2π

3

≤α＜π
故答案为：[0，

π

2

)∪[

2π

3

，π)

点评：本题主要考查了导数的几何意义：函数在某点的导数值即是函数在该点得切线斜率，二次函数的性质的应用，直线的倾斜角与直线的斜率的关系及直线的倾斜角得范围，属于知识得综合应用．