题目内容
已知平面内一动点P到点F（0，1）的距离与点P到y=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线L1，L2，设L1与轨迹C相交于点A，B，L2与轨迹C相交于点D，E，当
•
的取到最小值时，求L1直线的方程．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线L1，L2，设L1与轨迹C相交于点A，B，L2与轨迹C相交于点D，E，当
| AD |
. |
| EB |
考点：轨迹方程,直线的一般式方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）直接由抛物线的定义求得动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设出两直线的参数方程，和抛物线方程联立后由线系方程中参数的几何意义得
•
的函数表达式，求出其最小值后进一步求得L1直线的方程．
（Ⅱ）设出两直线的参数方程，和抛物线方程联立后由线系方程中参数的几何意义得
| AD |
. |
| EB |
解答：
解：（Ⅰ）∵平面内一动点P到点F（0，1）的距离与点P到y=-1的距离相等，
∴P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线，
其方程为x2=4y；
（Ⅱ）如图所示：
=
+
，
=
+
，
•
=
•
+
•
．
设直线L1的参数方程为
，
则L2的参数方程为
．
将L1的参数方程代入抛物线方程得：t2cos2α-4tsinα-4=0，
∴
•
=-
．
将L2的方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4tcosα-4=0，
∴
•
=-
．
•
=-(
•
+
•
)=4(
+
)=
=
．
当sin2α=1时，取最小值16．
此时α=45°，
∴直线L1：
．
化为普通方程得：x-y+1=0．
∴P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线，
其方程为x2=4y；
（Ⅱ）如图所示：
| AD |
| AF |
| FD |
| BE |
| BF |
| FE |
| AD |
| BE |
| AF |
| BF |
| FD |
| FE |
设直线L1的参数方程为
|
则L2的参数方程为
|
将L1的参数方程代入抛物线方程得：t2cos2α-4tsinα-4=0，
∴
| AF |
| BF |
| 4 |
| cos2α |
将L2的方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4tcosα-4=0，
∴
| FD |
| FB |
| 4 |
| sin2α |
| AD |
| EB |
| AF |
| BF |
| FD |
| FE |
| 1 |
| cos2α |
| 1 |
| sin2α |
| 4 |
| (sinαcosα)2 |
=
| 16 |
| sin22α |
当sin2α=1时，取最小值16．
此时α=45°，
∴直线L1：
|
化为普通方程得：x-y+1=0．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用直线的参数方程中参数的几何意义解题的方法．是中档题．
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