Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)；(2) 存在点,.

试题分析：(1)可建立空间直角坐标系，利用向量线面角公式得
(2)可以先假设存在点D，然后利用向量的二面角公式计算.
试题解析：如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，

可得.
(1)所以，平面的一个法向量
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.   6分
(2)假设存在满足条件的点，设AD=，
则，设平面的法向量，
因为,，
且
所以   所以平面的一个法向量
又因为平面的一个法向量
所以
解得，因为，此时,
所以存在点，使得二面角B₁—DC—C₁的大小为60°.          12分