Question

【题目】如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为 ，

∵CD与AB垂直，∴直线CD的斜率为﹣ ，

∴直线CD的方程为y=﹣ （x﹣2），即x+2y﹣2=0．

（2）解：当直线AB与x轴垂直时，AB=2 ，CD=4，

∴四边形ACBD的面积S= ，

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），

即kx﹣y﹣k=0，

则直线CD方程为y=﹣ ，即x+ky﹣2=0，

点O到直线AB的距离为 ，

∴AB=2 =2 ，

CD=2 =4 ，

则四边形ACBD面积S= = =4 ，

令k2+1=t＞1（当k=0时，四边形ACBD不存在），

∴ =4 ∈（0，4 ），

∴四边形ABCD面积S的最大值为4 ．

【解析】（1）当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为2，由CD与AB垂直，直线CD的斜率为﹣ ，由此能求出直线CD的方程．（2）当直线AB与x轴垂直时，AB=2 ，CD=4，四边形ACBD的面积，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为kx﹣y﹣k=0，则直线CD方程为x+ky﹣2=0，求出点O到直线AB的距离，从而得到弦长AB和CD，由此利用配方法能求出四边形ACBD面积的最大值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与圆的三种位置关系(直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点)．