Question

3．设a为实数，若函数f（x）=（x-1）e^x-ax²（x∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）当a∈（0，1]时，若函数f（x）在区间[0，a]上的最大值为M（a），求M（a）

Answer 1

分析 （1）将a=0代入函数的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）求出f′（x）=x（e^x-2a），分类讨论列出表格得出单调性；
（3）通过（2）结合a的范围得到函数的单调性，从而求出M（a）的表达式．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=（x-1）e^x，
f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）∵函数f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
∴f′（x）=x（e^x-2a），
①当a≤0时，∵e^x-2a＞0，
∴x＞0时，f′（x）＞0，
x＜0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0），
∴f（x）_极大值=f（0）=-1；无极小值；
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）=0，得出x=0，x=ln2a，
当x变化时，如下表格：

x	（-∞，ln2a）	ln2a	（ln2a，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

可求得（-∞，ln2a）（0，+∞）为单调递增区间；（ln2a，0）为单调递减；
∴f（x）_极大值=f（ln2a）=aln²（2a）+2aln2a-2a，f（x）_极小值=f（0）=-1；
③当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=x（e^x-2a）≥0，∴f（x）在R上单调递增，无极值；
④当a＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
当x变化时，如下表格：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2a）	ln2a	（ln2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

可求得（-∞，0），（ln2a，+∞）为单调递增区间；（0，ln2a）为单调递减；
∴f（x）_极大值=f（0）=-1；f（x）_极小值=f（ln2a）=aln²（2a）+2aln2a-2a；
（3）由（2）得：①0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[0，a]单调递增，M（a）=f（x）_最大值=f（a）=（a-1）e^a-a³；
②$\frac{1}{2}$＜a≤1时，f（x）在（0，ln2a）递减，M（a）=f（x）_最大值=f（0）=-a-1，
综上：M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1{）e}^{a}{-a}^{3}，0＜a≤\frac{1}{2}}\\{-a-1，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$．

点评 本综合考查了函数的导数的运用，难度较大，多次求导判断最值，单调性，必需思路清晰，目的性强．