Question

【题目】如图，在四棱锥PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．

(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）通过线面垂直的性质得到，通过计算证明，由此证得平面，从而证得平面平面.（II）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面求得点的坐标，从而求得平面的法向量，再根据线面角的向量公式，求得线面角的正弦值.

解：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，

又因为，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，

所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因为，所以DP⊥平面PAB，

因为，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）由AB⊥平面PAD

以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系.

其中，，，，.

从而，，，

设，从而得，

，

设平面MBD的法向量为，

若直线PA//平面MBD，满足，

即，

得，取，

且，

直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于：

.