Question

（2012•黄州区模拟）（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）已知函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）若关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值．

Answer 1

分析：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，证明h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0），从而可得结论；
（2）求导函数，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，根据函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；
（3）关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，当x＞0时，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

，构造函数g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，利用ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0），可得g（x）在（0，+∞）上单调增，从而可求实数b的最大值．

解答：（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，则h′（x）=

1- 1+x+ 1 4 x2 1+x

1+x

＜0
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0
∴ln（1+x）-

x

1+x

＜0
∴ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）解：求导函数，可得f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，
∵函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a²-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意义
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）解：关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，
∵1-

1

ex

≥0，∴b≥0
当x＞0时，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

构造函数g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，则g′(x)=-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

由（1）知，ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
以e^x代1+x，可得x＜

ex-1

ex

，
∵x＞0，∴-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调增
当x＞0且x→0时，g（x）→1
∴b≤1
∴实数b的最大值为1

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的构造，属于中档题．