Question

（2012•黄州区模拟）已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+1．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-

3

a，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x-

π

6

）+1，由f（x）=

11

10

，求得sin（x-

π

6

）=

3

5

．再由x∈[0，

π

2

]，求得cos（x-

π

6

）=

4

5

．
再由cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，利用两角和差的余弦公式求得结果．
（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c-

3

a 可得2sinAcosB≥

3

sinA，故 cosB≥

3

2

，B∈（0，

π

6

]，由此求得 f（B）的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

 cos

x

2

-cos²

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+1=sin（x-

π

6

）+1．…（3分）
∵f（x）=

11

10

，∴sin（x-

π

6

）=

3

5

；  又∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，故 cos（x-

π

6

）=

4

5

．
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

4 3 -3

10

． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-

3

a，可得 2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）-

3

sinA，
∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）-

3

sinA，2sinAcosB≥

3

sinA，∴cosB≥

3

2

，∴B∈（0，

π

6

]．…（10分）
∴sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]，即 f（B）=sin（B-

π

6

）+

1

2

，∴f（B）∈（0，

1

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．