Question

在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明1：由余弦定理得AC=

3

BC，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．
证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°-α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．
（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

解答：（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=（2BC）²+BC²-2×2BC•BC•cos60°，
即AC=

3

BC．…（2分）
所以AC²+BC²=AB²．
所以AC⊥BC．…（3分）
因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，
所以AC⊥平面FBC．…（4分）
证明2：因为∠ABC=60°，
设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°-α．
在△ABC中，由正弦定理，得

BC

sinα

=

AB

sin(120°-α)

．…（1分）
因为AB=2BC，所以sin（120°-α）=2sinα．
整理得tanα=

3

3

，所以α=30°．…（2分）
所以AC⊥BC．…（3分）
因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，
所以AC⊥平面FBC．…（4分）
（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，
所以AC⊥FC．
因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．
因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）
取AB的中点M，连结MD，ME，
因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，
所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）
取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）
因为MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．
因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE． …（9分）
所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角． …（10分）
因为NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）
因为MN=

3

2

AD，ME=

MD2+DE2

=

2

AD，…（12分）
在Rt△MNE中，sin∠MEN=

MN

ME

=

6

4

．…（13分）
所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为

6

4

．…（14分）
解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，
所以AC⊥FC．
因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．
因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）
所以CA，CB，CF两两互相垂直，
建立如图的空间直角坐标系C-xyz．…（7分）
因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°
所以CB=CD=CF．
不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），A(

3

，0，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)，
所以

BF

=(0，-1，1)，

DA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

DE

=(0，0，1)．…（9分）
设平面ADE的法向量为

n

=（x，y，z），
则有

n • DA =0 n • DE =0.

即

3 2 x+ y 2 =0 z=0.

取x=1，得

n

=(1，-

3

，0)是平面ADE的一个法向量．…（11分）
设直线BF与平面ADE所成的角为θ，
则sinθ=|cos?

BF

，

n

＞|=|

BF • n

| BF |•| n |

|=|

(0，-1，1)•(1，- 3 ，0)

2 •2

|=

6

4

．…（13分）
所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为

6

4

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．