Question

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点。

（1）证明：DF∥平面ABC；

（2）求AB与平BDF所成角的大小。

Answer 1

解：（1）取AB的中点G，连CG，GF，如图a所示。

则GF∥BE，且，

∴GF∥CD，且GF＝CD。

∴四边形FGCD是平行四边形。

∴GF∥CG，又平面ABC，平面ABC，

∴DF∥平面ABC。

（2）解法一：设A到平面BDF的距离为，

由得

在中，，

∴，又，且，

∴

又设AB与平面BDF所成的角为，则，

故AB与平面BDF所成的角为。

解法二：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为、、轴，

建立如图b所示的空间直角坐标

系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），

E（0，0，2），F（1，0，1）．

设平面BDF的一个法向量为，

∵

∴

即，解得

∴。

 又设AB与平面BDF所成的角为，则法线与所成的角为，

∴，即

故AB与平面BDF所成的角为。