Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AB=BC=2，AA₁=4，∠ABC=60°．
（1）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若E是棱CC₁的是中点，求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得AA₁⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）连结A₁O，EO，A₁E，由已知条件推导出∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-E的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，
∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）解：连结A₁O，EO，A₁E，
∵在四棱柱中，底面ABCD是棱形，且E是棱CC₁的中点，
∴A₁B=A₁D，EB=ED，又∵O是BD的中点，
∴A₁B=A₁D，EB=ED，
又∵O是BD的中点，∴A₁O⊥BD，EO⊥BD，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
∵四棱柱中，AA₁⊥平面ABCD，AB=BC=2，AA₁=4，
∴A1O=

17

，EO=

5

，A1E=2

2

，
∴在△A₁OE中，cos∠A1OE=

A1O2+EO2-A1E2

2A1O•EO

=

17+5-8

2 17 • 5

=

7 85

85

，
∴二面角A₁-BD-E的平面角的余弦值为

7 85

85

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．