Question

4．在直角坐标平面内，如果两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一对“偶点”（偶点（P，Q）与（Q，P）看作同一对偶点），已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-1，x≥0}\\{2{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$有两对“偶点”，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4-4$\sqrt{2}$）
• B． （-4+4$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-4-4$\sqrt{2}$，-4+4$\sqrt{2}$）
• D． （0，-4+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求出y=2x²+4x+3（x＜0）关于y轴对称的函数为y=2x²-4x+3（x＞0），令y=kx-1与y=2x²-4x+3（x＞0）有两交点，根据导数的几何意义求出k的临界值即可得出k的范围．

解答 解：y=2x²+4x+3（x＜0）关于y轴对称的函数为y=2x²-4x+3（x＞0），
∴f（x）有两对偶点，
∴y=kx-1与y=2x²-4x+3在（0，+∞）上有两个交点，
作出y=kx-1与y=2x²-4x+3的函数图象，

设y=kx-1与y=2x²-4x+3相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{{y}_{0}=2{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+3}\\{4{x}_{0}-4=k}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{2}$，y₀=7-4$\sqrt{2}$，k=4$\sqrt{2}$-4，
∴当k＞4$\sqrt{2}$-4时，直线y=kx-1与y=2x²-4x+3有两个交点．
故选：B．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．