Question

已知双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左右焦点为F₁，F₂，点P在该双曲线上，若P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

 

．

Answer 1

分析：当PF₁ 或 PF₂垂直于x轴时，把 x=±5代入双曲线

x2

16

-

y2

9

=1可得|y|的值，当PF₁⊥PF₂ 时，则有 

x2 16 - y2 9 =1 y x+5 × y x-5  =  -1

，解得|y|的值，|y|的值即为所求．

解答：解：由双曲线的方程

x2

16

-

y2

9

=1可得 a=4．b=3，c=5．
当PF₁ 或 PF₂垂直于x轴时，把 x=±5代入双曲线

x2

16

-

y2

9

=1可得|y|=

9

4

，点P到x的距离为

9

4

．
当PF₁⊥PF₂ 时，则有 

x2 16 - y2 9 =1 y x+5 × y x-5  =  -1

，解得|y|=

9

5

，点P到x的距离为

9

5

．
故答案为

9

4

或

9

5

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键和易错点．