Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：{

an

3n

-2}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试比较

Sn

3n

与

6n

2n+1

的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据a_n-1=S_n+1-S_n+1求得a_n+1与a_n的关系式，进而代入

an+1

3n+1

中，求得

an+1

3n+1

-2=

1

2

(

an

3n

-2)进而证明{

an

3n

-2}为等比数列，公比为

1

2

，首项为-2，进而求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的a_n可求得S_n的表达式，再让

Sn

3n

-

6n

2n+1

化简得3

2n-(2n+1)

(2n+1)2n

所以只要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．

解答：解：（1）由S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n+1-3ⁿ⁺²，相减得：an+1=

3

2

an+3n+1，
故

an+1

3n+1

=

an

2×3n

+1，
∴

an+1

3n+1

-2=

1

2

(

an

3n

-2)，
即{

an

3n

-2}是以

a1

3

-2为首项，以

1

2

为公比的等比数列
由已知得：a1=

9

2

，∴

a1

3

-2=-

1

2

，故

an

3n

-2=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
所以an=[2-(

1

2

)n]×3n=2×3n-(

3

2

)n（8分）
（2）Sn=3n+1[1-(

1

2

)n]，故只要比较3[1-(

1

2

)n]与

6n

2n+1

的大小，
∵3[1-(

1

2

)n]-

6n

2n+1

=3

2n-(2n+1)

(2n+1)2n

，
所以只要比较2ⁿ与2n+1的大小，
当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1；
当n≥3时，2ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ＞C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1=2n+1
所以当n=1，2时

Sn

3n

＜

6n

2n+1

，当n≥3时，

Sn

3n

＞

6n

2n+1

．

点评：本题主要考查数列中等比关系的确定．解题的关键是求出每一项与它的前一项的比等于同一个常数．