Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，sinC），且满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=3，试求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由向量平行可得（2b-c）sinC=asin2C，解结合正弦定理和三角函数知识可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）可得C=$\frac{2π}{3}$-B，由正弦定理可得b+c=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC，可化简为6sin（B+$\frac{π}{6}$），由0＜B＜$\frac{2π}{3}$和三角函数的值域可得．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，sinC），且满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴（2b-c）sinC=asin2C，∴（2b-c）sinC=2asinCcosC，
∴2b-c=2acosC，∴2sinB-sinC=2sinAcosC，
∴2sin（A+C）-sinC=2sinAcosC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC-sinC=2sinAcosC，
∴2cosAsinC=sinC，即cosA=$\frac{1}{2}$，
∴角A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=3，A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
由正弦定理可得$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB）
=6（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）
=6sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴3＜6sin（B+$\frac{π}{6}$）≤6，
∴b+c的取值范围为（3，6]

点评 本题考查解三角形，涉及向量平行和正弦定理以及三角函数的值域，属中档题．