Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点在抛物线y²=8x的准线上，且过点M(

3

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F（-2，0），T为直线x=-3上任意一点，过F作直线l⊥TF交椭圆C于P、Q两点．
①证明：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）；②当

|TF|

|PQ|

最小时，求点T的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）椭圆C的一个焦点为：F₁（-2，0），联立方程组

a2=b2+c2 3 a2 + 1 b2 =1

，得出方程．（2）①联立方程组

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，即（m²+3）y²-4my-2=0，根据韦达定理求出中的，
即可判断：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）②

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

根据不等式求解得出T，及最小值．

解答： 解：（1）抛物线y²=8x的准线方程为：x=-2，
∴椭圆C的一个焦点为：F₁（-2，0），
即c=2，F₂（2，0），过点M(

3

，1)．
∴

a2=b2+c2 3 a2 + 1 b2 =1

，a²=6，b²=2，
即椭圆C的方程为：

x2

6

+

y2

2

=1，
（2）①F₁（-2，0），T为（-3，m），直线PQ方程：x=my-2，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，
即（m²+3）y²-4my-2=0，
△=16m²+8（m²+3）＞0，
∵y₁+y₂=

4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=-

12

m2+3

，
∵线段PQ中点M（-

6

M2+3

，

2m

m2+3

），k_OM=-

m

3

T为（-3，m），k_OT=-

m

3

，
∴OT经过线段PQ中点M
②|TF|=

m2+1

，|PQ|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

24 (m2+1)

m2+3

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

≥

3

3

，
当且仅当m²+1=

4

m2+1

，m=±1，等号成立．
此时

|TF|

|PQ|

最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

点评：本题综合考察了直线，抛物线，椭圆的方程，位置关系，结合韦达定理，不等式，难度较大．