Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1

2

a

2 n

-an+c(c＞1为常数，n∈N*)，且a3-a2=

1

8

．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）比较

n

k=1

1

ak

与

40

39

an+1的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知a2=c-

1

2

，a3=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

，利用a3-a2=

1

8

，可求c的值；
（Ⅱ）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，从而

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39(2-an+1)

，可以证明1≤a_n＜a_n+1＜2，从而得证．

解答：解：（Ⅰ）由已知a2=c-

1

2

，a3=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

由a3-a2=

1

8

解得c=2或c=1(舍去)
（Ⅱ）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2有an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2)，从而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

因为a1=1，故

n

k=1

1

ak

=

n

k=1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

从而

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39(2-an+1)

①
下面证明1≤a_n＜a_n+1＜2②
由an+1-an=

1

2

(an-2)2≥0当且仅当an=2时an+1=an
又a₁=1．故a_n+1＞a_n≥1
再用数学归纳法证明a_n＜21°当n=1时，a₁=1＜2显然结论正确.2°假设n=k时结论正确，即有a_k＜2．
注意到ak+1=

1

2

a

2 k

-ak+2=

1

2

(ak-1)2+

3

2

．
而函数y=

1

2

(x-1)2+

3

2

在x∈[1，+∞)单增．由1≤ak＜2
所以ak+1＜

1

2

(2-1)2+

3

2

=2．
这就是说，当n=k+1时结论也正确
由1°，2°可知a_n＜2对n∈N^*恒成立，从而②得证．
由已知易求a2=

3

2

，a3=

13

8

．
当n=1时，

1

a1

＜

40

39

a2．
当n=2时，

1

a1

+

1

a2

=

40

39

a3．
当n≥3时，由a3=

13

8

＜an+1＜2及①立得

n

k=1

1

ak

＞

40

39

an+1．

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列与不等式，考查递推式的运用，有一定的难度．