Question

已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为F₁和F₂ 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）点M在椭圆上，求⊿MF₁F₂面积的最大值；
（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）不存在，理由见解析。

（Ⅰ）设椭圆方程为，由已知， ，   . 解得，
∴所求椭圆方程为。
（Ⅱ）令 ，则
∵，故的最大值为，
∴当时，的最大值为。
（Ⅲ）假设存在一点P, 使，∴，∴⊿PF₁F₂为直角三角形，∴  ①，
又∵       ②，
∴②²－①，得 ∴
即=5，但由（1）得最大值为，故矛盾，
∴不存在一点P, 使。