Question

19．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$垂直，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=24，若t∈[0，1]，则|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{193}$
• B． 26
• C． 17$\sqrt{2}$
• D． 24

Answer 1

分析 由题意，在OB上取$\overrightarrow{BD}=\frac{5}{12}\overrightarrow{BO}$，在AB上取动点C，使$\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），则|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|=$|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}|+|\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}|$=$|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|$，则|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|的最小值可求．

解答 解：如图，在Rt△AOB中，已知∠AOB=90°，OA=OB=24
在OB上取点D，使得$BD=\frac{5}{12}BO=10$．
在AB上有一动点C，设$\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），
则|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|=$|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}|+|\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}|$
=$|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|$．
∴$（|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|）_{min}=\sqrt{B{D}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{0}^{2}}=26$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力，是中档题．