Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，求使$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 利用数量积大于零解出k的范围，去掉共线的特殊情况得答案．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1．
∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{k}^{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+k{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（{k}^{2}+1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+k{\overrightarrow{b}}^{2}$=k-k²-1+4k=-k²+5k-1，
∵向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
∴-k²+5k-1＞0．解得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}＜k＜\frac{5+\sqrt{21}}{2}$．
若向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的方向相同，则$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=λ（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{λ=k}\\{k=1}\end{array}\right.$，∴k=1．
∴k的取值范围是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}，1$）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积及夹角计算，注意共线的情况，是中档题．