Question

6．若正三棱锥P-ABC（底面是正三角形，顶点P在底面的射影是△ABC的中心）满足|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{3}$，则该三棱锥外接球球心O到平面ABC的距离为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，AB=4$\sqrt{3}$，如图所示，将P-ABC视为正方体的一部分，球的半径R=3$\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$，即可求出该三棱锥外接球球心O到平面ABC的距离．

解答 解：由题意，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，AB=4$\sqrt{3}$，
如图所示，将P-ABC视为正方体的一部分，球的半径R=3$\sqrt{2}$，
OP=2$\sqrt{2}$，
所以该三棱锥外接球球心O到平面ABC的距离为3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查球内接多面体的性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．