Question

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系式为．
（Ⅰ）若要求在该时段内车流量超过9（千辆/小时），则汽车的平均速度应在什么范围？
（Ⅱ）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要使该时段内车流量不超过9千辆/小时，即使，解之即可得汽车的平均速度的控制范围；
（Ⅱ）将已知函数化简，从而利用基本不等式求车流量y最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得：，…（2分）
即，而分母v²-50v+1600恒大于零，…（3分）
∴解之得：20＜v＜80…（7分）
∴汽车的平均速度应在每小时千米．                …（8分）
（Ⅱ）∵v＞0∴…（11分）
∵，∴y≤15，…（14分）
当且仅当，即v=40（千米/小时）时，车流量最大，最大值为15（千辆/小时）        …（15分）
答：在该时段内，当汽车的平均速度为40（千米/小时）时，车流量最大，最大值为15（千辆/小时）．…（16分）
点评：本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，解题的关键利用基本不等式求最值，同时考查计算能力，属于中档题．