Question

（本小题满分12分）如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A。

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：第一问可以根据题意直接设出抛物线的标准方

程的形式，根据抛物线的焦点坐标，得出对应的的值，

从而得出抛物线的方程，第二问应用点在圆上的对应结论，即直径对的圆周角为直角，得出两线垂直的对应结果，从而得证，还有就是S，T两点证明的思路是一样的，所以，证明一个，另一个点可以用同理可得来带过.

试题解析：（Ⅰ）设抛物线E的方程为，

依题意，

所以抛物线E的方程为 4分

（Ⅱ）设点

，否则切线不过点M

7分

10分

∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；

同理可证点S在以FM为直径的圆上，

所以S，T在以FM为直径的圆上。 12分

考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合问题，四点共圆的证明方法.