Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别BB₁，CD的中点．
（1）求证：AE⊥平面A₁FD₁；
（2）已知G是靠近C₁的A₁C₁的四等分点，求证：EG∥平面A₁FD₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能证明AE⊥平面A₁FD₁．
（2）由已知条件推导出G(x，y，z)=(

3

4

a，

3

4

a，a)，从而

AE

⊥

EG

，由此能证明EG∥平面A₁FD₁．

解答： 证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz．
设正方体的棱长为a．
∵E，F，G分别BB₁，CD，A₁C₁的中点，
∴A(0，0，0)，E(a，0，

a

2

)，A₁（0，0，a），
D₁（0，a，a），F(

a

2

，a，0)．…（1分）
∵A(0，0，0)，E(a，0，

a

2

)，∴

AE

=E(a，0，

a

2

)-A(0，0，0)=(a，0，

a

2

)．…（2分）
∵A₁（0，0，a），D₁（0，a，a），F(

a

2

，a，0)，
∴

A1F

=F(

a

2

，a，0)-A1(0，0，a)=(

a

2

，a，-a)，

D1F

=(

a

2

，0，-a)．…（3分）
∵

AE

•

A1F

=(a，0，

a

2

)•(

a

2

，a，-a)=

a2

2

+0-

a2

2

=0，

AE

•

D1F

=(a，0，

a

2

)•(

a

2

，0，-a)=

a2

2

+0-

a2

2

=0，
∴

AE

⊥

A1F

，

AE

⊥

D1F

．…（5分）
∵A₁F，D₁F是平面A₁FD₁上的两条相交直线，
∴AE⊥平面A₁FD₁．…（6分）
（2）∵G是靠近C₁的A₁C₁的四等分点，
∴

A1G

=

3

4

A1C1

．…（7分）
设G（x，y，z），
则(x，y，z)-(0，0，a)=

3

4

[(a，a，a)-(0，0，a)]=

3

4

(a，a，0)，
∴G(x，y，z)=(

3

4

a，

3

4

a，a)，
∴

EG

=G(

3

4

a，

3

4

a，a)-E(a，0，

a

2

)=(-

1

4

a，

3

4

a，

a

2

)．…（9分）
∴

AE

•

EG

=(a，0，

a

2

)•(-

1

4

a，

3

4

a，

a

2

)=-

1

4

a2+

1

4

a2=0，
∴

AE

⊥

EG

，
∵AE⊥平面A₁FD₁，且EG不在平面A₁FD₁内，
∴EG∥平面A₁FD₁．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．