Question

19．已知圆x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0．
（1）若b=a²，试求实数a的取值范围；
（2）若b=2a²-6，试求面积最大的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）若b=a²，将圆x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0化为标准方程，根据方程右边为半径的平方，大于0，可得实数a的取值范围；
（2）若b=2a²-6，将圆x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0化为标准方程，求出半径的平方最大时的a值，可得答案．

解答 解：（1）若b=a²，
则圆x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0可化为：
x²+y²-2ax+2y+a²-2a+4=0，即（x-a）²+（y+1）²=2a+3，
由2a+3＞0得：a＞$-\frac{3}{2}$
（2）若b=2a²-6，
则圆x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0可化为：
x²+y²-2ax+2y+2a²-6-2a+4=0，
即（x-a）²+（y+1）²=-a²+2a+3，
当a=1时，-a²+2a+3取最大值4，
此时圆的面积最大，
故面积最大的圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=4

点评 本题考查的知识点是圆的一般方程和圆的标准方程，函数的最值，难度中档．