Question

已知函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x，y∈R都有f（x-y）=，记=a₁•a₂•…•a_n，则等于（ ）
A．12
B．16
C．24
D．32

Answer 1

【答案】分析：根据题意，用特殊值法，在f（x-y）=中，令x=y=1可得，f（0）=1，令y=x-1可得f（x）=2f（x-1），令x=0可得f（y）•f（-y）=1；分析可得=f（5）•f（4）•f（3）•f（2）•f（1）•f（0）•f（-1）•f（-2）•f（-3）•f（-4），进而化简可得=f（5），由f（x）=2f（x-1）用递推法可得答案．
解答：解：在f（x-y）=中，
令x=y=1可得，f（0）==1，
令y=x-1可得，f[x-（x-1）]=f（1）=，即f（x）=2f（x-1），
令x=0可得，f（0-y）=f（-y）==，即f（y）•f（-y）=1；
则=f（5）•f（4）•f（3）•f（2）•f（1）•f（0）•f（-1）•f（-2）•f（-3）•f（-4）
又由f（y）•f（-y）=1，则=f（5）
又由f（2）=2f（1）=4，f（3）=2f（2）=8，f（4）=2f（3）=16，f（5）=2f（4）=32，
则=f（5）=2f（4）=32，
故选D．
点评：本题考查抽象函数的应用，是新定义的题型，首先要理解的含义，其次要用特殊值法分析求出f（1）、f（2）等的值．