Question

【题目】如图1，在△ABC中， ， ，点D是BC的中点． （ I）求证： ；
（ II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证： 为常数，并求该常数；
（ III）如图2，若 ，F为线段AD上的任意一点，求 的范围．

Answer 1

【答案】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1 ， 连接CA1 ， A1B， ∵D是BC的中点，
∴四边形ACA1B是平行四边形，
∴ = + ，
∵ ；
（II）证明：∵ = + ，
∴ （ ﹣ ）=（ + ）（ ﹣ ）= + ，
∵DE⊥BC，∴ =0，
∵ = （ ）= ，
∴ （ ﹣ ）=
（III）解：△ABC中，| |=2，| |=1，cosA= ， ，

∴| |= = ，
同理 + =2 ，
∴ （ + ）= 2 =| || |，
设| |=x，则| |= ﹣x（0 ），
∴ （ + ）=2x（ ﹣x）≤2 =1，当且仅当x= 时取等号，
∴ （ + ）∈（0，1]．

【解析】（ I）延长AD到A1使得AD=DA1 ， 连接CA1 ， A1B，证明四边形ACA1B是平行四边形，即可证明： ；（ II）证明 （ ﹣ ）=（ + ）（ ﹣ ）= + ，即可得出： 为常数，并求该常数；（III）确定 （ + ）=2x（ ﹣x），利用基本不等式，求 的范围．