Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点，
（1）求证：“如果直线l过点F（3，0），那么”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

Answer 1

解：（1）当直线l斜率存在时，
设过点F（3，0）的直线l的方程为：y=k(x-3)，
由，①代入②得：k²x²-(2+6k²)x+9k²=0，
设直线l与抛物线y²=2x交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，
则，

，
∴原命题为真；
若直线l斜率不存在时，直线l与x轴垂直，
解方程组，得A、B坐标为，
∴；综上命题得证；
（2）（1）的逆命题为：“若，则直线l过点F（3，0）”，此命题为假命题，
事实上，设A，B（2，2），则A、B两点在抛物线上且，
但这时直线l方程为2x-3y+2=0，点F（3，0）并不在直线l上。