Question

19．已知点P（x，y）是圆x²+y²=2y上的动点，
（1）求z=2x+y的取值范围； 
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
（3）求x²+y²-16x+4y的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），由三角函数的性质能求出2x+y的范围．
（2）由已知c≥-x-y恒成立，由-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1，能求出c的范围．
（3）x²+y²-16x+4y=cos²α+（1+sinα）²-16cosα+4（1+sinα），由此利用三角函数能求出x²+y²-16x+4y的最大值，最小值．

解答 解：（1）∵P是圆x²+y²-2y=0上的动点，∴P是圆x²+（y-1）²=1上的动点，
∴令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），
∴2x+y=sinα+2cosα+1=$\sqrt{5}$sin（α+β）+1，
∴2x+y的范围是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．
（2）∵x+y+c≥0恒成立，∴c≥-x-y恒成立
∵-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1
∴-x-y的最大值为$\sqrt{2}$-1，
∴c的范围是[$\sqrt{2}$-1，+∞）．
（3）x²+y²-16x+4y=cos²α+（1+sinα）²-16cosα+4（1+sinα）
=6sinα-16cosα+6=2$\sqrt{73}$sin（α+θ）+6，
∴x²+y²-16x+4y的最大值是6+2$\sqrt{73}$，最小值是6-2$\sqrt{73}$．

点评 本题主要考查了圆的参数方程，以及恒成立问题和正弦函数的值域问题，考查点到直线距离公式、等价转化思想的合理运用．