Question

（2013•湛江一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f(α+

π

12

)=

1

3

(α∈(0，

π

2

))，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值，可得A=1．根据图象函数算出最小正周期T=π，从而得到ω=2．最后根据当x=

π

12

时函数达到最大值，算出φ=

π

3

，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）由（1）得f(α+

π

12

)=

1

3

即sin(2α+

π

2

)=

1

3

，由三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，解出cos²α=

2

3

，sin²α=

1

3

，结合同角三角函数关系可得tan²α=

1

2

，最后结合α∈（0，

π

2

），解出tanα=

2

2

（舍负）．

解答：解：（1）根据题意，得
∵函数的最大值为1，最小值为-1，∴A=1
∵函数的最小正周期T，满足

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

∴T=π，得

2π

ω

=π，解之得ω=2
∵当x=

π

12

时，函数达到最大值为1，
∴f（

π

12

）=sin（

π

6

+φ）=1，可得

π

6

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）
∵|φ|＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

3

因此，函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

3

），
∴f(α+

π

12

)=sin(2α+

π

2

)=

1

3

，可得cos2α=

1

3

∵cos2α=cos²α-sin²α=

1

3

，cos²α+sin²α=1
∴cos²α=

2

3

，sin²α=

1

3

，可得tan²α=

sin2α

cos2α

=

1

2

∵α∈（0，

π

2

），∴tanα=

2

2

（舍负）

点评：本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式并依此求特殊的三角函数的值，着重考查了根据y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式和三角恒等变换等知识，属于中档题．