Question

【题目】若函数满足（其中且）.

（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；

（2）解关于的不等式.

Answer 1

【答案】　(1) 见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)利用换元法可得函数的解析式为，结合函数的解析式可得函数f(x)为奇函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)结合(1)中确定的函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，得到不等式，求解不等式可得不等式的解集为.

试题解析：

　(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，

∴f(x)为增函数．

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，

∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．

(2)∵f(x)是R上的增函数且为奇函数，∴由得

∴

∴不等式的解集为.