Question

已知三次函数在和时取极值，且．
（Ⅰ） 求函数的表达式；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、n应满足的条件。

Answer 1

（Ⅰ）．          （Ⅱ）函数在区间上是增函数；------------------7分
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．           
（Ⅲ）、n应满足的条件是：，且

（Ⅰ），                                                                                      
由题意得，是的两个根，
解得，．                                                                             ------------------2分
再由可得．
∴．                 ------------------4分
（Ⅱ），
当时，；当时，；------------------5分
当时，；当时，；------------------6分
当时，．∴函数在区间上是增函数；------------------7分
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．                                ------------------9分
（Ⅲ）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，
所以，函数在区间上的值域为（）．-------------10分
而，∴，即．                                                                    
于是，函数在区间上的值域为．------------------12分
令得或．
由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分