题目内容

设f（x）=ax²+bx+1，（a，b为常数）．若 $数学公式$ ，且f（x）的最小值为0，
（1）若 $数学公式$ 在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．
（2）若 $数学公式$ ，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范围．

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1， $\text{[math]}$ ，f（x）的最小值为0，
∴ $\text{[math]}$ ，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=4x+ $\text{[math]}$ -4≥2 $\text{[math]}$ -4=4 $\text{[math]}$ -4，
当且仅当4x= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，g（x）取最小值4 $\text{[math]}$ -4．
∵ $\text{[math]}$ 在[1，2]上是单调函数，
∴ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴ $\text{[math]}$ =4x+ $\text{[math]}$ -4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．
分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1， $\text{[math]}$ ，f（x）的最小值为0，解得（x）=4x²-4x+1．所以 $\text{[math]}$ =4x+ $\text{[math]}$ -4≥2 $\text{[math]}$ -4=4 $\text{[math]}$ -4，再由 $\text{[math]}$ 在[1，2]上是单调函数，能求出k的取值范围．
（2）当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=25．故 $\text{[math]}$ =4x+ $\text{[math]}$ -4＜25在[1，2]恒成立，等价于4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，由此能求出k的范围．
点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理、二次函数的灵活运用．