Question

设f（x）=ax²+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是

5

4

，求a的值；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在端点或对称轴处可能取得最大值，利用f（x）在x∈[0，1]上的最大值是

5

4

，求a的值，验证即可得到结论；
（2）对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，等价于f（x）的值域是g（x）值域的子集，分类讨论，即可求得a的取值范围；
（3）根据f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，利用分离参数法，进而确定函数的最值，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）可能取得最大值为f（0），f（1），f（-

1

2a

）
①当f（0）为最大值时，求得a=-1.25，由二次函数的最大值位置x=-

1

2a

∈[0，1]，与在x=0处取得最大值矛盾，故f（0）为最大值不成立；
②当f（1）为最大值时，f（1）=1≠1.25，故x=1处，f（x）取不到最大值；
③当f（-

1

2a

）为最大值时，由f（-

1

2a

）=4，可得

-4a2-1

4a

=

5

4

，∴a=-

1

4

或a=-1，
当a=-

1

4

时，-

1

2a

=2不在[0，1]内，故舍去．
综上知，a=-1；
（2）依题意f（x）的值域是g（x）值域的子集，
①a＞0时，g（x）∈[5-3a，5-a]，f（x）∈[-a，1]
所以

5-3a≤-a 5-a≥1

，解得，a∈[

5

2

，4]；
②a=0时，不符题意舍去；
③a＜0时，f（x）最小值为f（0）或f（1），其中f（0）=-a，而-a＜5-a，不符合题意
∴f（1）=1＜5-a，也不符合题意
综上，a∈[

5

2

，4]；
（3）f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，等价于ax²+x-a=2ax+5-3a，即ax²+（1-2a）x+2a-5=0，亦即a=

5-x

x2-2x+2

（x∈[0，1]）成立
令5-x=t，则t∈[4，5]，∴a=

t

t2-8t+17

=

1

t+ 17 t -8

∵t∈[4，5]，∴t+

17

t

-8∈[2

17

-8，

2

5

]
∴

1

t+ 17 t -8

∈[

5

2

，

17 +4

2

]
∴a的取值范围为[

5

2

，

17 +4

2

]．

点评：本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．