Question

15．在平面直角坐标系XOY中，以原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，曲线C₂参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数）．
（1）求曲线C₁和C₂的直角坐标系方程；
（2）若曲线C₁和C₂交于两点A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，即ρ²=1，利用ρ²=x²+y²可得直角坐标方程，曲线C₂参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程．
（2）两个方程相减可得：经过两圆的交点的直线方程为：x+y=1．圆心O（0，0）到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，即ρ²=1，可得直角坐标方程：x²+y²=1，
曲线C₂参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），利用cos²θ+sin²θ=1化为普通方程：（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）两个方程相减可得：经过两圆的交点的直线方程为：x+y=1．
圆心O（0，0）到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．