Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：
①函数f(x)在其定义域上是单调函数；
②在函数f(x)的定义域内存在闭区间[a，b]使得f(x)在[a，b]上的最小值是，且最大值是。
请解答以下问题：
(1)判断函数f(x)=-x³是否属于集合M？并说明理由；若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
(2)若函数h(x)=+t∈M，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（1）设，则

，
所以，，
故g（x）是R上的减函数，
设函数，则，
解得：或，
又a＜b，
∴，
∴，满足条件②的闭区间为。
（2）设，
则，
∴h（x）在上是增函数，
∴，，
∴，
则a，b（a，b＞1）是方程的两个不相等的实数根，
令，则，
即方程在有两个不同的实数解，
∴ ， 解得：。