Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）组成的集合：①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f（x）的定义域内存在区间，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判断函数f(x)=

x

是否属于集合M？若是，则求出a，b，若不是，说明理由；
（Ⅱ）若函数f(x)=

x-1

+t∈M，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据单调性可判定函数f（x）是否满足条件①，然后根据单调性求出函数f（x）在[a，b]上的值域，建立等式，求出满足条件的a，b即可；
（Ⅱ）根据函数f(x)=

x-1

+t在[1，+∞)上为增函数，以及f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]建立等式，从而得到a，b是方程

x-1

+t=

1

2

x的两个不同的根，且b＞a≥1，令m=

x-1

(m≥0)，可得m²-2m+1-2t=0有两个不同的非负实根，从而求出t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

在[0，+∞)上为增函数，
∴满足条件①；
假设存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]，
则

f(a)= a = 1 2 a f(b)= b = 1 2 b

，
∴a，b是方程

x

=

1

2

x的两个不同的非负根，
∴a=0，b=4，∴f(x)=

x

属于M，且a=0，b=4，
∴满足条件②；
（Ⅱ）∵f(x)=

x-1

+t在[1，+∞)上为增函数，
∴满足条件①；
设区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]，
∴

f(a)= a-1 +t= 1 2 a f(b)= b-1 +t= 1 2 b

，
∴a，b是方程

x-1

+t=

1

2

x的两个不同的根，且b＞a≥1，
令m=

x-1

(m≥0)∴m+t=

1

2

(m2+1)，
∴m²-2m+1-2t=0有两个不同的非负实根，
∴

△＞0 m1+m2=＞0 m1•m2≥0

，解得0＜t≤

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定和值域的求解，以及换元法的应用，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于中档题．