Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体
①函数f（x）在其定义域上是单调函数．
②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

，

b

2

]．
（1）判断函数f(x)=x+

2

x

(x＞0)是否属于M，说明理由．
（2）判断g（x）=-x³是否属于M，说明理由，若是，求出满足②的区间[a，b]．

Answer 1

分析：（1）确定函数在其定义域上不是单调函数，即可求得结论；
（2）利用新定义，建立方程组，从而可得结论．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

2

x

(x＞0)在（0，

2

）上单调递减，在（

2

，+∞）上单调递增
∴函数f(x)=x+

2

x

(x＞0)不属于M；
（2）∵g（x）=-x³在R上递减
∴若g（x）=-x³属于M，则

-a3= b 2 -b3= a 2

∴a=-

2

2

，b=

2

2

∴满足②的区间为[-

2

2

，

2

2

]

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．