Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．请解答以下问题
（1）判断函数f(x)=x+

2

x

(x∈(0，+∞))是否属于集合M？并说明理由；
（2）判断函数g（x）=-x³是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（3）若函数h(x)=

x-1

+t∈M，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）看是否同时符合①②即可，符合的话，成立，反之不成立．
（2）看是否同时符合①②即可，对于闭区间[a，b]，只需要利用f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

就可求．
（3）已经符合①②，故存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

，再利用单调性求出t的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

2

x

，x∈(0，+∞)，
在(0，

2

)上递减，在(

2

，+∞)上递增，
∴f(x)=x+

2

x

，x∈(0，+∞)不属于M．（4分）
（2）∵g（x）=-x³在R上递减，
∴若g（x）=-x³属于M，则

-a3= b 2 -b3= a 2

即

a=- 2 2 b= 2 2

（9分）
（3）∵h(x)=

x-1

+t∈M且为增函数
∴

a-1 +t= a 2 b-1 +t= b 2

∴方程

x-1

+t=

x

2

，在[1，+∞）内有两解
即

x-1

=

x

2

-t，在[1，+∞）内有两解，所以t≤

1

2

x-1

+t=

x

2

化为：x²-4（t+1）x+4t²+4=0
则

△=[4(t+1)]2-4×4(t2+1)＞0 - -4(t+1) 2 ＞1 12-4(t+1)×1+4t2+4≥0

解得t＞0，综上实数t的取值范围是（0，

1

2

]．

点评：本题是一道带新定义的探究性的题目，在做这一类型题时，关键点是弄清题目中的新定义，并会用它来解题．