Question

16．数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系构造等差数列进行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，
即数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差d=$\frac{1}{2}$的等差数列，首项为$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$n，
则${a_n}=n•{2^{n-1}}$．
故{a_n}的通项公式为：${a_n}=n•{2^{n-1}}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系结合等差数列的性质是解决本题的关键．