Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1，则a₁₀=（　　）

• A． $\frac{{3}^{7}}{{2}^{8}}$
• B． $\frac{{3}^{7}}{{2}^{9}}$
• C． $\frac{{3}^{8}}{{2}^{8}}$
• D． $\frac{{3}^{8}}{{2}^{9}}$

Answer 1

分析 通过S_n=2a_n+1与S_n-1=2a_n（n≥2）作差可知a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，进而可知数列{a_n}从第二项起构成以$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n=2a_n+1，
∴S_n-1=2a_n（n≥2），
两式相减得：a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，
又∵a₂=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{1}{2}$不满足上式，
∴数列{a_n}从第二项起构成以$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{3}^{n-2}}{{2}^{n-1}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴a₁₀=$\frac{{3}^{8}}{{2}^{9}}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．