Question

2．已知：抛物线C₁的顶点为（1，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=4．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）若直线y=x+m与抛物线C₁相交于M、N两点，且MN=$\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，抛物线C₁与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0），设抛物线C₁的解析式为y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²+4，求出a，即可求抛物线C₁的解析式；
（2）直线y=x+m与抛物线C₁联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求m的值．

解答 解：（1）由题意，抛物线C₁与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0）．
设抛物线C₁的解析式为y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²+4，
∴a=-1，
∴抛物线C₁的解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
直线y=x+m与抛物线C₁联立，可得x²-x+m-3=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=m-3，
∴MN=$\sqrt{2}•\sqrt{1-4（m-3）}$=$\sqrt{10}$，
∴m=2．

点评 本题考查抛物线的解析式，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，正确运用韦达定理是关键．