Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.

(1)若，求证: ;

(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）取中点，连接，，易知要证，先证平面；

（2）如图以为坐标原点，分别以，，为轴轴轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可得到结果.

(1)证明:取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面平面，又因为平面平面，

所以平面，又因为平面，

所以

又因为，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以，

因为，

所以.

(2)设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴轴轴，建立空间直角坐标系，

由 (1)可知，，所以，

故，，，，，

对平面，，，

所以其法向量为.

又，

所以直线与平面成角的正弦值.