Question

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线，
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标。

Answer 1

解：（1）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为， ∴对于双曲线C：c=2， 又为双曲线C的一条渐近线， ∴，解得， ∴双曲线C的方程为。
（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零， 设l的方程：，， 则， ， ∴， ∴， ∵在双曲线C上， ∴， ∴， ∴， 同理有：， 若则直线l过顶点，不合题意，∴， ∴是二次方程的两根， ∴，∴， 此时△＞0，∴k=±2， ∴所求Q的坐标为（±2，0）。