题目内容
(本小题满分12分)双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为的一条渐近线.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)过点(0,4)的直线,交双曲线于A,B两点,交x轴于点(点与的顶点不重合)。当 =,且时,求点的坐标
【答案】
(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)设双曲线方程为
由椭圆 求得两焦点为,对于双曲线,
又为双曲线的一条渐近线, ,
又因为,可以解得 ,
双曲线的方程为. ……4分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程:,,则,
,
,
. ……8分
在双曲线上,
同理有:
若则直线过顶点,不合题意
是二次方程的两根,
,
此时
所求的坐标为. ……12分
考点:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本运算、向量的数量积运算以及直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.
点评:椭圆与双曲线混合运算时,要注意椭圆中而双曲线中,不要弄混了;而考查直线与圆锥曲线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
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