题目内容

(本小题满分12分)双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=的一条渐近线.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)过点(0,4)的直线,交双曲线于A,B两点,交x轴于点(点与的顶点不重合)。当 =,且时,求点的坐标

 

【答案】

(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)设双曲线方程为

由椭圆 求得两焦点为对于双曲线

为双曲线的一条渐近线, ,

又因为,可以解得

双曲线的方程为.                                         ……4分

(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在且不等于零

的方程:,则

,

,

.                                  ……8分

在双曲线上,

同理有:

则直线过顶点,不合题意

是二次方程的两根,

此时 

所求的坐标为.                                              ……12分

考点:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本运算、向量的数量积运算以及直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.

点评:椭圆与双曲线混合运算时,要注意椭圆中而双曲线中,不要弄混了;而考查直线与圆锥曲线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.

 

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