Question

1．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边sin²B=2sinAsinC，a=b
（1）求cosA
（2）若a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由sin²B=2sinAsinC，根据正弦定理可得：b²=2ac，a=b，利用余弦定理可求cosA的值．
（2）a=$\sqrt{2}$，根据（1）可得b，c的值和sinA的值，根据${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$可得结论．

解答 解：（1）由sin²B=2sinAsinC，根据正弦定理可得：b²=2ac，
又∵a=b，
可得：b=2c
则$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{c}^{2}}{4{c}^{2}}=\frac{1}{4}$．
（2）由（1）知：b=2c，而a=b=$\sqrt{2}$，
根据$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{4}$
解得：c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵cosA=$\frac{1}{4}$，则sinA=$\sqrt{1-sinA}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．