Question

19．已知△ABC中，∠C=90°，CB=CA=3，△ABC所在平面内一点M满足：$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=（　　）

• A． -1
• B． -3
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据条件便可得出$AB=3\sqrt{2}，∠BAC=45°$，由$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$便可得到$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）$，这样进行数量积的计算便可求出$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}$．

解答 解：如图，根据条件知，△ABC为等腰直角三角形，$AB=3\sqrt{2}，∠BAC=45°$；

∴$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）$$•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{5}{9}•3\sqrt{2}•3•\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{9}•（3\sqrt{2}）^{2}-\frac{2}{9}•{3}^{2}$
=5-4-2=-1．
故选：A．

点评 考查直角三角形边的关系，向量减法的几何意义，向量的数乘运算、数量积的运算，以及数量积的计算公式．