Question

已知c是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距，则

b+c

a

的取值范围是（　　）

• A．（1，+∞）
• B．(

  2

  ，+∞)
• C．（1，

  2

  ）
• D．（1，

  2

  ]

Answer 1

分析：利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围．

解答：解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为 b、c，斜边为a，
由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c＞a，
∴

b+c

a

＞1，
又∵(

b+c

a

)2=

b2+c2+2bc

a2

≤

2(b2+c2)

a2

=2，
∴1＜

b+c

a

≤

2

，
故选D．

点评：本题考查椭圆的简单性质、基本不等式、及直角三角形的2个直角边之和大于斜边．